q-Analogues of Some Series for Powers of $$\pi $$
نویسندگان
چکیده
We obtain q-analogues of several series for powers $$\pi $$ . For example, the identity $$\begin{aligned} \mathop {\sum }\limits _{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{\pi ^3}{32} \end{aligned}$$ has following q-analogue: (-1)^k\frac{q^{2k}(1+q^{2k+1})}{(1-q^{2k+1})^3}=\frac{(q^2;q^4)_{\infty }^2(q^4;q^4)_{\infty }^6}{(q;q^2)_{\infty }^4}, where q is any complex number with $$|q|<1$$ also give four new found by second author.
منابع مشابه
Powers of Euler's Q-series
What are the asymptotic moments of coefficients obtained when expanding ∞ m=1 (1 − q m) ℓ in series? A few examples are given, as well as a new multiplicative representation for coefficients when ℓ = 10 and ℓ = 14.
متن کاملq-ANALOGUES OF THE SUMS OF POWERS OF CONSECUTIVE INTEGERS
Let n, k be the positive integers (k > 1), and let Sn,q(k) be the sums of the n-th powers of positive q-integers up to k − 1: Sn,q(k) = ∑k−1 l=0 ql. Following an idea due to J. Bernoulli, we explore a formula for Sn,q(k).
متن کاملapplication and construction of carbon paste modified electrodes developed for determination of metal ions in some real samples
ساخت الکترودهاِی اصلاح شده ِیکِی از چالشهاِی همِیشگِی در دانش شیمِی بوِیژه شیمِی تجزیه مِی باشد ،که با در نظر گرفتن سادگِی ساخت، کاربردی بودن و ارزان بودن روش مِی توان به باارزش بودن چنِین سنسورهاِی پِی برد.آنچه که در ادامه آورده شده به ساخت و کاربرد الکترودهاِی اصلاح شده با استفاده از نانو ذرات در اندازه گِیرِی ولتامترِی آهن وکادمِیم اشاره دارد. کار اول اختصاص دارد به ساخت الکترود خمِیر کربن اصلاح شده با لِیگاند داِ...
15 صفحه اولa time-series analysis of the demand for life insurance in iran
با توجه به تجزیه و تحلیل داده ها ما دریافتیم که سطح درامد و تعداد نمایندگیها باتقاضای بیمه عمر رابطه مستقیم دارند و نرخ بهره و بار تکفل با تقاضای بیمه عمر رابطه عکس دارند
some properties of fuzzy hilbert spaces and norm of operators
in this thesis, at first we investigate the bounded inverse theorem on fuzzy normed linear spaces and study the set of all compact operators on these spaces. then we introduce the notions of fuzzy boundedness and investigate a new norm operators and the relationship between continuity and boundedness. and, we show that the space of all fuzzy bounded operators is complete. finally, we define...
15 صفحه اولذخیره در منابع من
با ذخیره ی این منبع در منابع من، دسترسی به آن را برای استفاده های بعدی آسان تر کنید
ژورنال
عنوان ژورنال: Annals of Combinatorics
سال: 2021
ISSN: ['0219-3094', '0218-0006']
DOI: https://doi.org/10.1007/s00026-021-00522-x